Τα μαθηματικά χειρόγραφα του Καρλ Μαρξ και ο μαθηματικός φορμαλισμός

Σημείωση: Το άρθρο αυτό πραγματεύεται τη θέση των εν λόγω κειμένων στην ιστορία των μαθηματικών και δεν έχει σχέση με τα πολιτικά γραπτά του Karl Marx, ούτε και διατηρεί κάποια άποψη -αρνητική ή θετική- προς αυτόν ούτε επίσης και προς τα ιστορικά γεγονότα που αναφέρονται προς το τέλος.

Είναι πράγματικα περίεργο να μιλάμε για το μαθηματικό έργο του Karl Marx. Άλλωστε ποτέ δεν υπήρξε μαθηματικός, ούτε καν φιλόσοφος των μαθηματικών ή της επιστήμης. Πράγματι, σπάνια συναντάμε το όνομα του εκτός των πλαισίων των κοινωνικών και πολιτικών επιστημών. Άρα γιατί να γράψει ένας ακαδημαϊκός φιλόσοφος και θεωρητικός της πολιτικής, μαθηματικά χειρόγραφα; Ακόμα περισσότερο, γιατί να μας ενδιαφέρουν εμάς σήμερα, σαν μαθηματικούς, τα χειρόγραφα αυτά;

Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι σχετικά απλή, ο Marx έζησε και εργάστηκε ως πανεπιστημιακός και συγγραφέας κατά τον 19ο αιώνα. Πριν δηλαδή γίνει ευρέως γνωστό το έργο των φορμαλιστών του απειροστικού λογισμού (π.χ. Cauchy, Weierstrass) και σαφώς πολύ πριν άλλων πρότζεκτ αυστηρής τυποποίησης των μαθηματικών όπως το πρόγραμμα του Hilbert, τα Principia Mathematica και η αξιωματική θεμελίωση των Zermelo-Fraenkel.Τα όρια δηλαδή, μεταξύ μαθηματικών, φιλοσοφίας και λοιπών επιστημών ήταν θολά. Πράγματι, απουσία κάποιας θεμελίωσης των μαθηματικών, πως θα μπορούσαμε να δικαιολογήσουμε την ανάπτυξη των καθαρών μαθηματικών και πως θα μπορούσαμε να αντιλήσουμε συμπεράσματα από αυτά, αν όχι επιστημολογικά -άρα φιλοσοφικά-; Μέχρι και σήμερα, χρειαζόμαστε συχνά τη φιλοσοφία, οι μπεϋζιανοί στατιστικοί, ακόμα και εν αγνοιά τους, αξιοποιούν σχεδόν πάντα τη μπεϋζιανή επιστημολογία, η οποιά απορρέει αβίαστα από τη φύση των μοντέλων τους, αυτό όμως είναι ένα θέμα για διαφορετικό άρθρο. Δεν ήταν λοιπόν ασυνήθιστο φιλόσοφοι (όπως και ο Marx) να έχουν εκτεταμμένη -σε σχέση με την εποχή- μαθηματική εκπαίδευση και λόγο στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Κατά τη διάρκεια της ανάπτυξης του απειροστικού λογισμού, πριν γίνει αποδεκτή και γνωστή η έννοια του τυποποιημένουορίου μέσω του ορισμού ε-δ, τα infinitesimals , αριθμοί (dy/dx) δηλαδή που ορίζονται να είναι είναι πιό κοντά στο μηδέν από οποιονδήποτε μη-μηδενικό αριθμό, πάνω στους οποίους θα μπορούσε να στηριχθεί η έννοια της παραγώγου, θεωρούνταν μερικώς φιλοσοφικό ζήτημα. Μάλιστα πολλές από τις ενστάσεις του Marx ακολουθούσαν από το ότι το όριο του φαινόταν πολύ πιο «μεταφυσικό» από τα infinitesimals . [1]

Το δεύτερο ερώτημα είναι ταυτόχρονα πιο απλό και πιο περίπλοκο. Η σύντομη απάντηση είναι «δεν μας ενδιφέρουν». Τα χειρόγραφα που πραγματεύεται το άρθρο αυτό δεν έπαιξαν κανέναν ρόλο στην ανάπτυξη των μαθηματικών που χρησιμοποιούμε σήμερα ούτε και θεωρούνται σημαντικά από τους ιστορικούς των μαθηματικών μιάς και έγιναν γνωστά στα μέσα του 20ου αιώνα όπου και σε αυτό το σημείο, η τυποποίηση του διαφορικού λογισμού είχε επιτευχθεί και η φιλοσοφία είχε διαχωριστεί σχεδόν εντελώς από τα μαθηματικά (τουλάχιστον στην Ευρώπη και την Αμερική). Υπάρχουν όμως, ορισμένα σημεία που παρουσιάζουν ενδιαφέρον. Κάποια από αυτά τα αναφέραμε ήδη, είναι ο ιστορικός διαχωρισμός μαθηματικών και φιλοσοφίας και η ανάπτυξη του απειροστικούς λογισμού πάνω στα όρια και όχι στα infinitesimals (τα οποία όμως, σχεδόν έναν αιώνες μετά, θα χρησιμοποιηθούν όπως τα είχαν φανταστεί ο Marx και άλλοι για να αναπτυχθεί η non-standard analysis ). Ένα επιπλέον ενδιαφέρον ιστορικό σημείο είναι το πως η έκδοση αυτών των χειρογράφων επηρέασε το ενδιαφέρον πολλών μαθηματικών -κυρίως στη Σοβιετική Ένωση και την Κίνα-. Εισάγεται δηλαδή, ένα αμιγώς πολιτικό και ιδεολογικό κριτήριο στην πρακτική της μαθηματικής έρευνας. Αυτό ίσως μας φαίνεται παράξενο, ακόμα και παράλογο, σήμερα αλλά έχει άμεση σχέση με το θέμα της επιστημολογικής θεμελίωσης των μαθηματικών μεν αλλά και με την μαθηματική θεμελίωση της πολιτικής φιλοσοφίας (ένα πρότζεκτ που σήμερα, μάλλον δικαίως, έχει εγκαταλειφθεί πλήρως).

Γυρίζοντας στα χειρόγραφα καθαυτά, τα κείμενα,που αριθμούν σε περίπου 1000 σελίδες, γράφτηκαν την περίοδο 1873–1883. Αποτελούν μια (ανολοκλήρωτη) προσπάθεια να θεμελίωθεί ο διαφορικός λογισμός και έπειτα να συνδεθεί η ιστορική ανάπτυξη αυτού με τις θεωρίες (κυρίως οικονομικές) και τη διαλεκτική συλλογιστική που είχε συλλάβει ο συγγραφέας. Εκδόθηκαν για πρώτη φορά ολοκληρωμένα το 1968 στη Σοβιετική Ένωση με επιμέλεια της μαθηματικού και φιλοσόφου Sofya Yanoskaya, ύστερα από κάποιες τμηματικές εκδόσεις, η οποία επέλεξε να χωρίσει τα γραπτά αυτά στα εξής τέσσερα ξεχωριστά κείμενα:

• Για την Έννοια της Παραγώγου (On the Concept of the Derived Function)

Mια απόπειρα να χτιστεί μια μεθοδολογία για τον υπολογισμό της παραγώγου από πρώτες αρχές(δηλαδή αξιώματα+βασικούς ορισμούς/θεωρήματα)

• Για το Διαφορικό (On the Differential)

Προσπάθεια να χτιστεί η έννοια της παραγώγου πάνω στις πρώτες αρχές, χωρίς όμως να γίνεται χρήση του ορισμού αυτής που βασίζεται πάνω στο όριο. Θυμόμαστε πως η τυποποίηση του ορίου δεν είχε γίνει ακόμα γνωστή και έτσι δεν ήταν πιο «ορθός» από τον ορισμό dy/dx παρότι ήταν, γενικώς, προτιμότερος. Μάλιστα, φαίνεται πως ένα από τα προβλήματα που είχε ο Marx ο ίδιος με τον ορισμό του ορίου είναι οτι δεν είναι επαρκώς θεμελιωμένος, ούτε φιλοσοφικά ούτε μαθηματικά.

• Θεώρημα Taylor (Taylor’s Theorem)

Επεξήγηση και βασικές εφαρμογές του γνωστού θεωρήματος

• Για την Ιστορία του Διαφορικού λογισμού (On the History of Differential Calculus)

Ιστορικές σημειώσεις, γίνεται μία απόπειρα η ιστορία του πεδίου να κατανοηθεί ως μια διαλεκτική διαδικασία όπως την όρισε ο Hegel, δηλαδή βασισμένη στις έννοιες της θέσης,αντίθεσης και σύνθεσης ιδεών. Χωρίζει την ιστορία σε τρία διαφορετικά σημεία: Τον«μυστικιστικό» λογισμό (θέση) των Newton/Leibniz, τον «ορθολογικό» λογισμό (αντίθεση) του d’Alembert και τον «αλγεβρικό» λογισμό (σύνθεση) του Lagrange (σήμερα γνωστό σε εμάς ως Λογισμός των Διαφορών πάνω στον οποίο στηρίζονται λύσεις ενός όμορφου προβήματα της μηχανικής, αυτό της βραχυστόχρονης καμπύλη, βλ. Marion-Thornton 2003,Ch.6). Τα κείμενα του Lagrange από το 1813 είναι η τελευταία, χρονολογικά, πηγή την οποία αναφέρει και άρα είχε πλήρη άγνοια της δουλειάς του Cauchy. Πράγμα αναμενόμενο αφού ζούσε στην Αγγλία στην οποία οι μαθηματικές ανακαλύψεις που συνέβαιναν στην Ευρώπη σπάνια έφταναν λόγω των διαφορών μεταξύ των Newton(Αγγλία) και Leibniz(Γερμανία)

Σημείωση: Η ανάπτυξη των μαθηματικών ως μια διαλεκτική διαδικασία, συναντάται ξανά πολλά χρόνια ύστερα στο έργο του Imre Lakatos και κυρίως στο βιβλιο του Proofs and Refutations, το οποίο αποτελεί μια επίθεση στον φορμαλισμό των μαθηματικών. Ο Lakatos , ως ακόλουθος της σκέψης του Marx στην ταραχώδη νεότητα του, (υπήρξε μέσα σε μερικά χρόνια πρόσφυγας, μετανάστης, επαναστάτης, πληροφοριοδότης και πολιτικός κρατούμενος) , εισήγαγε έντονα στο έργο του την διαλεκτική μέθοδο υπό τη μορφή του διαλεκτικού υλισμού ( που δεν μας απασχολεί εδώ ), παρόλο που τα μαθηματικά γραπτά του Marx όταν ανέπτυξε τη θεωρία του δεν είχαν εκδοθεί ακόμα.

Σημείωση 2: Το γιατί οι μαθηματικές ανακαλύψεις της εποχής έγιναν κυρίως στην Ευρώπη, ενώ η Αγγλία έμεινε σχετικά πίσω, παρόλο που οι Newton και Leibniz ανέπτυξαν τον διαφορικό λογισμό ταυτόχρονα, είναι ένα καλό ερώτημα. Κάποιοι σχολιαστές έχουν προτείνει πως μπορεί να έπαιξε ρόλο ακόμα και ο συμβολισμός, αφού ο συμβολισμός του Leibniz είναι πιο εύχρηστος και διαισθητικά παραγωγικός

Είναι ξεκάθαρο πως ο Marx ήξερε αρκετά καλή άλγεβρα αφού στα πρώτα του κείμενα καταφέρνει επιτυχώς να υπολογίσει τις παραγώγους διάφορων γραμμικών και μη πολυωνυμικών συναρτήσεων. Το μείζον ζήτημα όμως που πρέπει να αντιμετωπίσουμε είναι ο ορισμός της παραγώγου όπως εμφανίζεται συχνότατα στα παραπάνω κείμενα : \(\frac{\partial y}{\partial x} =\frac{0}{0}\). Αυτός ίσως προκαλεί τρόμο σε εμάς σήμερα και ορισμένοι σχολιαστές τον έχουν χρησιμοποιήσει για να αναδείξουν την άγνοια του συγγραφέα, όμως όπως επισημαίνουν οι Fahey et al. ο Marx είχε επίγνωση του τι έκανε όταν διαιρόυσε με 0. Εδώ συναντάμε την επιρροή της φιλοσοφίας πάνω στα μαθηματικά του τότε. Σήμερα γνωρίζουμε πως η διαίρεση με το 0 αντιτίθεται σε αξιώματα και έτσι αν την δεχτούμε, καταρρέουν όλα τα γνωστά μαθηματικά και οδηγούμαστε σε παράδοξα. Ο Marx όμως, ο οποίος δεν ήταν πεπεισμένος για τον σωστή κατεύθυνση του φορμαλισμού των μαθηματικών, εξετάζει εάν η διαίρεση με το 0 μπορεί να θεμελιωθεί τόσο φιλοσοφικά όσο και μαθηματικά, αποφεύγοντας τη «μεταφυσική» χροιά του μη τυποποιημένου ορίου. Φαινόταν δηλαδή, πως αντιλαμβάνοταν την κατεύθυνση προς την οποία δουλεύει τόσο ως πιό αυστηρή όσο και ως πιo νοητικά γόνιμη. Μάλιστα ήξερε τις ενστάσεις των μαθηματικών, όπως φαίνεται στα παρακάτω εδάφεια από τα χειρόγραφα του και από ένα γράμμα που του έγραψε ο συνεργάτης και φίλος του Friedrich Engels το 1881 : (ελεύθερη μετάφραση)

Το καλά κρατημένο πιστεύω μερικών μαθηματικών ότι dy και dx είναι ποσοτικά μόνο απείρως μικρά, μόνο προσεγγίζουν το \(\frac{0}{0}\), είναι μία χίμαιρα.

Αφού στην έκφραση  \(\frac{0}{0}\) έχει χαθεί κάθε νοήμα,αντικαθιστάται εύκολα με \(\frac{\partial y}{\partial x}\) και άρα \(\frac{\partial y}{\partial x} =α\) -Τα παραπάνω προκύπτουν εάν στις παραστάσεις y’-y και x’-x, κατά των υπολογισμό της παραγώγου πάρουμε τον αφελή ορισμό του ορίου και έτσι y’-y=0,x’-x=0 και άρα dy/dx=a –

… σε συγχέρω για τη δουλειά σου[μαθηματικά χειρόγραφα]. Τα πράγματα είναι ξεκάθαρα, και είναι εξαιρετικά περίεργο που οι μαθηματικοί επιμένουν να τα μυστικοποιούν τόσο πολύ. Αυτό είναι αποτέλεσμα του μονόπλευρου τρόπου με τον οποίο αυτοί σκέφτονται. Το να θέσουν dy/dx = 0/0, σταθερά και ξεκάθαρα, δεν τους περνάει από το μυαλό.

Βλέπουμε το \(\frac{0}{0}\) περισσότερο σύμβολο παρά όντως κλάσμα και πως η έννοια της παραγώγου είναι μερικώς φιλοσοφικά θεμελιωμένη, και όχι αυστηρά τυποποιημένη προς αποφυγή παραδόξων και λοιπών προβλημάτων. Μάλιστα, αυτή η τυποποίηση προσλαμβάνεται με ανάμεικτα συναισθήματα. Εδώ παρατηρούμε μια μάλλον αντιφατική συμπεριφορά, από τη μία η φιλοσοφική και μαθηματική θεμελίωση του ορίου δεν επαρκούν για τον Marx, από την άλλη όμως δεν φαίνεται να έχει ξεκαθαρίσει κάποιο τρόπο να τυποποιήσει τον ορισμό της παραγώγου της αρεσκείας του και έτσι εργάζεται μάλλον «διαισθητικά» ή φιλοσοφικά. Δεν φαίνεται τελικά από τα γραπτά του να κατάφερε να θεμελιώσει τον λογισμό έτσι όπως ήθελε. Επίσης, μεγάλο μέρος των χειρογράφω αυτών γράφτηκαν κατά τα τελευταία χρόνια της ζωής του, όταν πλέον είχε σταματήσει να είναι ιδιαίτερα παραγωγικός και μάλλον διάβαζε και έγραφε για δική του ψυχαγωγία.

Μεταφερόμαστε πλέον σχεδόν έναν αιώνα και μισό πλανήτη μακριά, στην Κίνα κατά τη διάρκεια και λίγο μετά της πολιτιστικής επανάστασης (1966 – 1976). Οι πηγές τις οποίες μπορούμε να αξιοποιήσουμε είναι λίγες. Συνεπώς τα περισσότερα παρακάτω προέρχονται από την εξαιρετική εργασία Mathematics and Ideology: The politics of infinitesimals, από προσθήκες που έχουν γίνει στην αγγλική έκδοση των χειρογράφων και από διαδικτυακά ιστορικά αρχεία.

Τα μαθηματικά δεν βρίσκονται σε καλή θέση, θεωρούνται υπερβολικά αφηρημένα και κομμένα από τις ζωές των απλών ανθρώπων και την επαναστατική πρακτική η οποία αποτελούσε απόλυτη προτεραιότητα. Συνεπώς το να καταπιαστεί κανείς με τέτοια πονήματα μπορεί σε ακραίες περιπτώσεις να θεωρηθεί ακόμα και προδοσία και να έχει αποτέλεσμα την εκτέλεση του. Όλα αυτά αλλάζουν όταν Κινέζοι μαθηματικοί ανακαλύπτουν τα χειρόγραφα του Marx. Πλέον η αντίληψη για τα μαθηματικά αλλάζει, ξεκινούν προσπάθειες να συνεχίσουν το έργο του Marx κάνοντας μια ερμηνεία του διαφορικού μακριά από αυτή που είχε επικρατήσει πλέον στη δύση και να χτιστεί μια αντίλήψη γύρω από την πρακτική και διδακτική των μαθηματικών που να στηρίζεται στον διαλεκτικό υλισμό. Προσπάθησαν δηλαδή, να τραβίξουν ευθείες αναλογίες μεταξύ των μαθηματικών του Marx και της ιδεολογίας τους, έτσι ώστε το ένα να φαίνεται ως φυσικό επακόλουθο του άλλου. Το κατά πόσο αυτές οι προσπάθειες και αντιλήψεις ήταν ορθές, μάλλον δεν μας απασχολεί μαθηματικά.

Αμέσως στήθηκαν διάφορες ερευνητικές ομάδες μαθηματικών σε πανεπιστήμια. Αρχικά για να μεταφράσουν και να ερμηνεύσουν τα χειρόγραφα και ύστερα για να εξελίξουν τις θεωρίες αυτές χρησιμοποιόντας την non-standard analysis ( η οποία, όπως αναφέραμε δέχεται έναν ορισμό της παραγώγου ανάλογο με αυτόν του Marx) που είχε αναπτυχθεί μερικά χρόνια πριν από τον Abraham Robinson. Έτσι η μαθηματική κοινότητα της Κίνας καταπιάνεται σχεδόν εξ’ολοκλήρου με την ανάλυση αυτή και σύντομα εμφανίζεται η πρώτης μετάφραση (1975) των χειρογράφων, η προλογίζεται ως εξής:

Tα μαθηματικά χειρόγραφα του [Karl] Marx, τα οποία ενέπνευσαν την επανάσταση, μεταφράστηκαν από την ομάδα μελέτης των μαθηματικών χειρογράφων του πανεπιστημίου του Πεκίνου και εκδόθηκαν από τον εκδοτικό οίκο του λαού. Αυτό αποτελεί μια μνημιώδη περίσταση στο ιδεολογικό πεδίο μάχης

Σύντομα διοργανώνεται το πρώτο συνέδριο της κίνας στην non-standard analysis (1978) και το ηγετικό κόμμα προτάσει πως όχι μόνο οι μαθηματικοί θα πρέπει να κινούνται σε αυτόν τον ερευνητικό δρόμο, αλλά θα πρέπει να αντιμάχονται οποιαδήποτε παρέκλυση από την ανάπτυξη των μαθηματικών με τον συγκεκριμένο τρόπο. Oργανικά δημιουργείται η αντίληψη πως υπάρχει άρρικτη σύνδεση μεταξύ συγκεκριμένων αναλυτικών μεθόδων,της ιδεολογίας και της προόδου των σκοπων τους, είναι ένα ενδιαφέρον ζήτημα και περιέχονται πολλές πληροφορίες στην εργασία που παραδώσαμε πιό πάνω. Για τους σκοπούς αυτού του άρθρου όμως καθώς και για τα μαθηματικά μας ενδιαφέροντα, η συζήτηση αυτή δεν είναι πολύ χρήσιμη. Προχωράμε στην επιγραμματική αναφορά κάποιων κεντρικών σημείων της περιόδου στα μαθηματικά που αφορούν τα όσα έχουμε πει μέχρι τώρα.

To 1975 ο καθηγητής φιλοσοφίας Zhi Zhou αναφέρει, προλογίζοντας μια εργασία του, πως ο διαφορικός λογισμός άργησε να αναπτυχθεί σαν θεωρία διότι υπέφερε από τις «μεταφυσικές επιρροές» των Newton / Leibniz και λοιπών μαθηματικών της εποχής. Αυτό διορθώθηκε μόνο με την τυποποίηση του ορίου σχεδόν δύο αιώνες μετά, κάτι που θα μπορούσε να έχει αποφευχθεί εάν είχε επικρατήσει ο ορισμός του dy/dx=0/0. Το 1976 εμφανίζεται μια εργασία που φέρει το ψευδώνυμο Shu Ji η οποία προσπαθεί, όχι μόνο να επαναδιατυπώσει τον γνωστό λογισμό με όρους και τρόπους συμβατούς με τα ενδιαφέροντα και τις απόψεις της επιστημονικής κοινότητας τους, αλλά να επεκτείνει την non-standard analysis χρησιμοποιώντας τον διαλεκτικό υλισμό. Η εργασία εισήγαγε σημαντικές έννοιες για τα επόμενα χρόνια όπως το non-standard continuum *R, ανάλογο του γνωστού συνεχούς, και έπαιξε καθοριστικό ρόλο στα μαθηματικά της Κίνας. Eπίσης σε αυτή συναντάμε μια εκτεταμμένη και αμιγώς φιλοσοφική επιχειρηματολογία πάνω στο γιατί τα infinitesimals είναι πραγματικοί αρθιμοί. Οι σημαντικές σημειώσεις εδώ είναι πως αφενός, η φιλοσοφική επιχειρηματολογία είχε κεντρική θέση στα μαθηματικά και αφετέρου, πως η ανάπτυξη της έρευνας γινόταν με τουλάχιστον εν μέρη ιδεολογικά κριτήρια. Πρώτα αποφασιζόταν προς τα που θα πρέπει να κινηθούν τα μαθηματικά και μετά κινούνταν προς τα εκεί. Υπήρχε δηλαδή, μια διαρκής διαδικασία ερμηνευτικής τόσο των χειρογράφων όσο και των ήδη γνωστών μαθηματικών καθώς και μια φιλοσοφική συζήτηση γύρω από την ίδια τη φύση των αφηρημένων αντικειμένων.